试题分析:(1)将
,
代入函数
的解析式,然后利用导数求出函数
的最大值;(2)先确定函数
的解析式,并求出函数
的导数,然后利用导数的几何意义将问题转化为
,利用恒成立的思想进行求解;(3)方法一是利用参数分离,将问题转化为方程
、
有且仅有一个实根,然后构造新函数
,利用导数求出函数
的极值从而求出参数
的值;方法二是直接构造新函数
,利用导数求函数
的极值,并对参数
的取值进行分类讨论,从而求出参数
的值.
试题解析:(1)依题意,
的定义域为
,
当
,
时,
,
,
由
,得
,解得
;
由
,得
,解得
或
.
,
在
单调递增,在
单调递减;
所以
的极大值为
,此即为最大值;
(2)
,
,则有
在
上有解,
∴
,
,
所以当
时,
取得最小值
,
;
(3)方法1:由
得
,令
,
,
令
,
,∴
在
单调递增,
而
,∴在
,
,即
,在
,
,即
,
∴
在
单调递减,在
单调递增,
∴
极小值为
,令
,即
时方程
有唯一实数解.
方法2:因为方程
有唯一实数解,所以
有唯一实数解,
设
,则
,令
,
因为
,
,所以
(舍去),
,
当
时,
,
在
上单调递减,
当
时,
,
在
上单调递增,
当
时,
取最小值
.
若方程
有唯一实数解,
则必有
即
所以
,因为
所以
12分
设函数
,因为当
时,
是增函数,所以
至多有一解.
∵
,∴方程(*)的解为
,即
,解得
.