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设函数.
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;
(3)当时,方程有唯一实数解,求正数的值.
(1)函数的最大值为;(2)实数的取值范围是;(3).

试题分析:(1)将代入函数的解析式,然后利用导数求出函数的最大值;(2)先确定函数的解析式,并求出函数的导数,然后利用导数的几何意义将问题转化为,利用恒成立的思想进行求解;(3)方法一是利用参数分离,将问题转化为方程有且仅有一个实根,然后构造新函数,利用导数求出函数的极值从而求出参数的值;方法二是直接构造新函数,利用导数求函数的极值,并对参数的取值进行分类讨论,从而求出参数的值.
试题解析:(1)依题意,的定义域为
时,
,得,解得
,得,解得.
单调递增,在单调递减;
所以的极大值为,此即为最大值;
(2),则有上有解,


所以当时,取得最小值
(3)方法1:由,令
,∴单调递增,
,∴在,即,在,即
单调递减,在单调递增,
极小值为,令,即时方程有唯一实数解.
方法2:因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,
,则,令
因为,所以(舍去),
时,上单调递减,
时,上单调递增,
时,取最小值.
若方程有唯一实数解,
则必有 即 
所以,因为所以              12分
设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.
,∴方程(*)的解为,即,解得.
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