Question

18．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为$\frac{\sqrt{3}a}{2}$的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．

Answer 1

分析 在△BCD中使用正弦定理求出BC，在△ABC中使用余弦定理求出AB．

解答 解：∵∠BCD=∠DCA-∠ACB=60°-45°=15°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=135°，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{1}{2}}$，解得BC=$\frac{\sqrt{6}a}{4}$．
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°，∠DCA=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
在△ABC中，由余弦定理得AB²=BC²+AC²-2AB•AC•cos∠ACB=$\frac{3{a}^{2}}{8}$，∴AB=$\frac{\sqrt{6}a}{4}$．
∴蓝方这两支精锐部队的距离为$\frac{\sqrt{6}a}{4}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．