Question

7．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{13}，a+c=4$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；
（2）利用余弦定理求出ac的值，代入三角形的面积公式即可．

解答 解：（1）∵bcosC+c cosB=2acosB．
∴由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB，
∵sinA＞0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵$b=\sqrt{13}，a+c=4$，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac
即13=16-3ac，
解得ac=1，
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．