Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别为A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1），点P（x，y）为正方形（含边界）内一动点．
（1）若x，y∈R，求点P满足x²+y²≤1的概率．
（2）若x，y∈Z，求点P满足x²+y²≤1的概率．

Answer 1

解：（1）点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），
满足x²+y²≤1的点的区域为以（0，0）为圆心，1为半径的圆面（含边界）．
∴所求的概率=．
（2）满足x，y∈Z，且在正方形ABCD的内部（含边界）的点有9个，满足x，y∈Z，且x²+y²≤1的点有5个，
∴所求的概率．
分析：（1）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1}，满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1，x²+y²≤1}，做出两个集合对应的图形的面积，根据几何概型概率公式得到结果．
（2）先一一列举出平面区域W中的整点的个数，再看看在x²+y²≤1的有多少个点，最后利用概率公式计算即得．
点评：本题主要考查了古典概型和几何概型，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．