Question

2．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求x³-3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，得到x³+1+1≥3x，于是x³-3x=x³+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时，取到最小值-2
（1）老师请你模仿例题，研究x⁴-4x，x∈[0，+∞）上的最小值；
（提示：a+b+c+d≥4$\root{4}{abcd}$）
（2）研究$\frac{1}{9}$x³-3x，x∈[0，+∞）上的最小值；
（3）求出当a＞0时，x³-ax，x∈[0，+∞）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据新定义可得x⁴-4x=x⁴+1+1+1-4x-3，解得即可，
（2）根据新定义可得$\frac{1}{9}$x³-3x=$\frac{1}{9}$x³+3+3-3x-6，解得即可，
（3）根据新定义可得x³-ax=x³+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$-ax-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$，解得即可．

解答 解：（1）x⁴-4x=x⁴+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，当且仅当x=1时，取到最小值-3，
（2）$\frac{1}{9}$x³-3x=$\frac{1}{9}$x³+3+3-3x-6≥3x-3x-6=-6，当且仅当x=3时，取到最小值-6，
（3）x³-ax=x³+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$-ax-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$≥ax-ax-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$=-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$，当且仅当x=$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$时，取到最小值-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$

点评 本题考查了合情推理的问题，关键时掌握新定义，属于中档题．