Question

13．已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为$2\sqrt{2}$的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且$|AB|=\frac{9}{2}$．
（1）求该抛物线的方程；
（2）过抛物线上的一个点M（1，2）作两条垂直的直线MP，MQ分别交抛物线于P，Q两点，试问：直线PQ是否过定点，如果过，请求出来，不过，请说明理由．
（3）求原点O到直线PQ的最大距离为多少？

Answer 1

分析 （1）由）抛物线y²=2px（p＞0）焦点F（-$\frac{p}{2}$，0），则直线AB的方程是$y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）$，代入抛物线方程，由韦达定理求得${x_1}+{x_2}=\frac{5p}{4}$，则$|AB|={x_1}+{x_2}+p=\frac{5p}{4}+p=\frac{9}{2}$，即可求得p的值，求得该抛物线的方程；
（2）设$P（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$Q（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，则$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$-1，y₁-2），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$-1，y₂-2），由$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=0$，求得y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0，直线PQ的方程，整理得：$y=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{-2（{y_1}+{y_2}）-20}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}+{y_1}}}（x-5）-2$，直线PQ必过定点B（5，-2）；
（3）由（2）可知原点O到直线PQ的最大距离为d=$\sqrt{{5^2}+{{（-2）}^2}}=\sqrt{29}$．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点在x轴的正半轴，焦点F（-$\frac{p}{2}$，0），
∴直线AB的方程是$y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：4x²-5px+p²=0，
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{5p}{4}$，
∴$|AB|={x_1}+{x_2}+p=\frac{5p}{4}+p=\frac{9}{2}$，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设$P（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$Q（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
则$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$-1，y₁-2），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$-1，y₂-2），
由$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=0$，
∴$（\frac{{{y_1}^2}}{4}-1，{y_1}-2）•（\frac{{{y_2}^2}}{4}-1，{y_2}-2）=0$，
∴（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，即y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0，
直线PQ的方程：$\frac{{y-{y_1}}}{{{y_2}-{y_1}}}=\frac{{x-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=\frac{{4x-{y_1}^2}}{{（{y_2}+{y_1}）（{y_2}-{y_1}）}}$，
∴$y=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{-2（{y_1}+{y_2}）-20}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}+{y_1}}}（x-5）-2$，
故直线PQ必过定点B（5，-2）．
（3）由（2）可知原点O到直线PQ的最大距离为d=$\sqrt{{5^2}+{{（-2）}^2}}=\sqrt{29}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查直线方程的应用，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．