Question

5．已知椭圆C的焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过点（0，1），交椭圆C于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立即可得出．
（2）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．由题意得直线l得斜率必存在，设为k，且直线必与椭圆有两个交点，直线l的方程为y=kx+1，与题意方程联立，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，及其根与系数的共线即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：
$\begin{array}{l}∵b=1，e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\∴a=2，c=\sqrt{3}\end{array}$，
椭圆C的方程是$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，
（2）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由题意得直线l得斜率必存在，设为K，且直线必与椭圆有两个交点．
∴直线l的方程为y=kx+1，
$\begin{array}{l}联立\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{y^2}{4}+{x^2}=1}\end{array}}\right.\\ 得（{k^2}+4）{x^2}+2kx-3=0\\∴\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}}\\{{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}}\end{array}}\right.\end{array}$
$\begin{array}{l}∵OA⊥OB\\∴{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0\\∴（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=0\\ 解得k=±\frac{1}{2}\end{array}$
∴直线的方程为x-2y+2=0或x+2y-2=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．