Question

15．已知函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法中不正确的是（　　）

• A． f（x）周期为2π
• B． f（x）最小值为-$\frac{5}{4}$
• C． f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]单调递增
• D． f（x）关于点x=$\frac{π}{4}$对称

Answer 1

分析 ①由f（x+2π）=f（x）即可得证；
②换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得y=t²+t-1，由二次函数区间的最值可得．
③举例即可排除；
④证明f（$\frac{π}{2}$-x）=f（x），即可判断正误．

解答 解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函数周期为2π，故①正确；
②设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t²-1+t=t²+t-1=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
由二次函数可知，当t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，函数y=t²+t-1单调递减，当t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]时，函数y=t²+t-1单调递增，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值y_min=-$\frac{5}{4}$，故②正确；
③∵f（x）=sin2x+sinx+cosx，
当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）=1+$\sqrt{2}$，
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=1，
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]不是单调递增．
故③错误；
④∵f（$\frac{π}{2}$-x）=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）]+sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos（$\frac{π}{2}$-x）=sin（π-2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函数关于x=$\frac{π}{4}$对称，故④正确．
故答案为：C．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，考查了函数的对称性，周期性质的应用，考查转化思想，数形结合思想及运算的能力，属于中档题．