Question

20．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB．
（1）若a=2，b=$\sqrt{7}$，求c
（2）设函数y=$\sqrt{3}$sin（2A-30°）-2sin²（C-15°），求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得tanB=$\sqrt{3}$，可求∠B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理即可解得c的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得y=$\sqrt{3}$sin（2A-60°）-1，结合范围A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），利用正弦函数的性质即可得解取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a=bccosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，
∴sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴cosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴∠B=$\frac{π}{3}$．…（4分）
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴c²-2c-3=0，
∴c=3．…（6分）
（2）∵y=$\sqrt{3}$sin（2A-30°）-2sin²（C-15°）
=$\sqrt{3}$sin（2A-30°）-1+2cos（2C-30°）
=$\sqrt{3}$sin（2A-30°）-cos（2A-30°）-1
=$\sqrt{3}$sin（2A-60°）-1，…（10分）
又∵△ABC为锐角三角形，
∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴y∈（-1，1]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．