Question

10．已知a＞0且满足不等式2^2a+1＞2^5a-2．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式log_a（2x-1）＜log_a（7-5x）．
（3）若函数y=log_a（2x-1）在区间[1，3]有最小值为-2，求实数a值．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数a的取值范围．  
（2）根据对数函数的单调性求不等式log_a（3x+1）＜log_a（7-5x）．
（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．

解答 解：（1）∵2^2a+1＞2^5a-2．
∴2a+1＞5a-2，即3a＜3，
∴a＜1．
（2）∵a＞0，a＜1，∴0＜a＜1，
∵log_a（2x-1）＜log_a（7-5x）．
∴等价为$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞0}\\{7-5x＞0}\\{2x-1＞7-5x}\end{array}\right.$，
∴$\frac{8}{7}$＜x＜$\frac{7}{5}$，
即不等式的解集为（$\frac{8}{7}$，$\frac{7}{5}$）．
（3）∵0＜a＜1，
∴函数y=log_a（2x-1）在区间[1，3]上为减函数，
∴当x=3时，y有最小值为-2，
即log_a5=-2=log_aa^-2，
∴a^-2=5，
解得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．