Question

18．在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=8，且a₁、a₅、a₇成等比数列，则S_n最大时，S_n=36．

Answer 1

分析 设公差d不为零的等差数列{a_n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d=-1，再由等差数列的求和公式，结合二次函数最值的求法，注意n为正整数，即可得到最大值．

解答 解：设公差d不为零的等差数列{a_n}，
由a₁=8，且a₁、a₅、a₇成等比数列，
可得a₅²=a₁a₇，
即（8+4d）²=8（8+6d），
解得d=-1（0舍去），
则S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=8n-$\frac{1}{2}$n（n-1）
=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{289}{8}$，
由于n为正整数，可知n=8或9，
则S_n最大，且为36．
故答案为：36．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项的性质，考查二次函数思想的运用：求最值，属于中档题．