Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4，-6），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{14}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=7，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，设$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），根据题中的条件求出x+2y+3z=-7，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-7，再利用两个向量的夹角公式，设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$ 的夹角等于θ，求出cosθ的值，由此求得θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，2，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4，-6），|
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，-2，-3）．
设$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），
由（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=7，可得 （-1，-2，-3）•（x，y，z）=-x-2y-3y=7，
∴x+2y+3z=-7，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-7，
设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$ 的夹角等于θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-7}{\sqrt{1+4+9}•\sqrt{14}}$=-$\frac{1}{2}$．
再由0°≤θ≤180°，可得θ=120°．
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-7是解题的关键，属于中档题．