Question

12．已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；
（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知Q为切点，可知PQ⊥OQ，结合勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²及已知|PQ|=|PA|，利用两点间的距离公式可得a，b之间的关系
（2）设圆P的半径为R，由圆P与圆O有公共点，且半径最小，可知R=OP，利用两点间的距离，结合（1）中a，b的关系可转化为关于a的二次形式，结合二次函数的性质可求R的最小值，进而可求圆的方程；
（3）求出直线MQ的方程，结合b=3-2a，即可得出结论．

解答 解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
∵|PQ|=|PA|故PA²=PO²-1
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化简可得，2a+b-3=0
（2）设圆P的半径为R，
∵圆P与圆O有公共点，且半径最小，
∴R=|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a+3）^{3}}$=$\sqrt{5（a-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$，
故当a=$\frac{6}{5}$时，|OP|_min=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
此时，b=$\frac{3}{5}$，R_min=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1．
得半径取最小值时圆P的方程为$（x-\frac{6}{5}）^{2}+（y-\frac{3}{5}）^{2}=（\frac{3\sqrt{5}}{5}-1）^{2}$；
（3）设Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{b-{y}_{1}}{a-{x}_{1}}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=-1}\end{array}\right.$化简得ax₁+by₁=1，
同理ax₂+by₂=1．
所以，直线MQ的方程为ax+by=1．
∵b=3-2a，代入上式得（x-2y）a+3y-1=0，
令x-2y=0，3y-1=0，得x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
∴直线MQ过定点（$\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查了圆的性质的简单应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力，试题具有一定的综合性．