Question

3．已知函数g（x）=$\frac{{4}^{x}-a}{{2}^{x}}$是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{{4}^{x}-a}{{2}^{x}}$是定义在R上的奇函数，
∴由g（0）=0得1-a=0，得a=1，
则g（x）=$\frac{{4}^{x}-1}{{2}^{x}}$，经检验g（x）是奇函数，
由f（-1）=f（1）得lg（10^-1+1）-b=lg（10+1）+b，
即2b=lg（$\frac{11}{10}$×$\frac{1}{11}$）=lg（$\frac{1}{10}$）=-1，
即b=-$\frac{1}{2}$，则f（x）=lg（10^x+1）-$\frac{1}{2}$x，经检验f（x）是偶函数
∴a+b=$\frac{1}{2}$       …（5分）（未说明检验的扣1分）
（2）∵g（x）=$\frac{{4}^{x}-1}{{2}^{x}}$=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，且g（x）在（-∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．
∴由g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，得
g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k），…（7分）
∴t²-2t＞-2t²+k，在t∈[0，+∞）上恒成立
即3t²-2t＞k，在t∈[0，+∞）上恒成立…（9分）
令F（x）=3t²-2t，在[0，+∞）的最小值为F（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{3}$…（11分）
∴k＜$-\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件建立方程求出a，b的值以及利用函数单调性之间的关系是解决本题的关键．