Question

16．已知$f（{log_3}x）={x^2}-2x+4$，$x∈[\frac{1}{3}，3]$．
（1）求f（x）的解析式及定义域；
（2）求f（x）的值域；
（2）若方程f（x）=a²-3a+3有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设t=log₃x，得到t∈[-1，1]，从而求出f（x）的解析式和函数的定义域即可；
（2）设u=3^x，得到$u∈[\frac{1}{3}，3]$，求出f（u），从而求出函数的值域即可；
（3）求出a²-3a+3∈[3，7]，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）设t=log₃x，t∈[-1，1]，则x=3^t-------（3分）
f（t）=（3^t）²-2•3^t+4，
∴f（x）=（3^x）²-2•3^x+4，
f（x）的定义域为[-1，1]---（6分）
（2）设u=3^x，$u∈[\frac{1}{3}，3]$，
f（u）=u²-2u+4=（u-1）²+3，
∴f（u）∈[3，7]
即所求值域为[3，7]----------（9分）
（3）由于方程f（x）=a²-3a+3有实数根，
∴a²-3a+3∈[3，7]，
∴a∈[-1，0]∪[3，4]-----------（12分）

点评 本题考查了对数函数以及指数函数的性质，考查函数的定义域、值域问题，是一道中档题．