Question

6．已知函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3．
（1）求出函数f（x）的解析式，并指出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若g（x）=f（|x|）在x₁，x₂∈[t，t+1]是增函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数有两个零点-1与3，由韦达定理可求解m，n的值，可得函数f（x）的解析式，利用二次函数的性质可得单调性．
（2）求出g（x）的解析式，画出图形，数形结合可求得t的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3，由韦达定理，可得：m=-2，n=-3，
故得函数f（x）的解析式f（x）=x²-2x-3，
解析式化简得f（x）=（x-1）²-4．
对称轴x=1，
∴f（x）的增区为（1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|），由（1）得f（x）=x²-2x-3
∴g（x）=x²-2|x|-3
画g（x）的图象如下：
由图象可知：[-1，0]和[1，+∞）是单调递增区间；
∵函数g（x）要使[t，t+1]是增函数，
由图观察可得：t=-1或t≥1．
故得实数t的取值范围是{t|t=-1或t≥1}．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法利用了韦达定理，以及二次函数图象及单调性求解含参数的问题．属于中档题．