Question

1．函数f（x）与g（x）=2^x互为反函数，则f（4x-x²）的单调递增区间为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （0，2）
• C． [2，4）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先求出反函数f（x），通过换元求出f（4x-x²）=log₂（4x-x²），确定此函数的定义域，然后在定义域的前提条件下根据4x-x²的单调性以及复合函数的单调性可求出所求．

解答 解：∵函数f（x）与g（x）=2^x互为反函数，
∴f（x）=log₂ x，
∴f（4x-x²）=log₂ （4x-x²），
由4x-x²＞0得0＜x＜4，即定义域为 （0，4），
x∈（0，2），4x-x²单调递增，此时f（4x-x²）=log2（4x-x²）单调递减；
x∈[2，4）时，4x-x²单调递减此时 f（4x-x²）=log2（4x-x²）单调递增．
∴f（4x-x²）的单调递增区间为（0，2）
故选B．

点评 本题主要考查反函数的求法，以及复合函数的单调性，体现了整体的数学思想，定义域是单调区间的前提，属于基础题．