Question

11．已知二次函数f（x）的对称轴x=-2，f（x）的图象被x轴截得的弦长为2$\sqrt{3}$，且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k，对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=a（x+2）^2_+k（a≠0），由弦长为2$\sqrt{3}$，f（0）=1可得a和k，从而可求得f（x）的解析式；（2）f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k，对x∈[-1，1]恒成立⇒k+3＜（[（$\frac{1}{2}$）^x+2]²）_min

解答 解：（1）解：∵二次函数f（x）的对称轴x=-2，∴f（x）=a（x+2）^2_+k（a≠0），
又f（0）=1，∴4a+k=1…①
又∵二次函数f（x）的对称轴x=-2，且f（x）的图象被x轴截得的弦长为2$\sqrt{3}$，∴f（x）过点（-2+$\sqrt{3}$，0），
∴3a+k=0…②，
由①②式得  a=1，k=-3
∴f（x）的解析式为：f（x）=（x+2）²-3，
（2）f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k，对x∈[-1，1]恒成立⇒[（$\frac{1}{2}$）^x_+2]2-3＞k，对x∈[-1，1]恒成立，
∴k+3＜（[（$\frac{1}{2}$）^x+2]²）_min．当x∈[-1，1]时，$\frac{1}{2}≤（\frac{1}{2}）^{x}≤2$，∴（[（$\frac{1}{2}$）^x+2]²）_min⁼$\frac{25}{4}$，
k+3＜$\frac{25}{4}$⇒k＜$\frac{13}{4}$，∴实数k的取值范围：（-∞，$\frac{13}{4}$）．

点评 本题考查函数恒成立问题，及等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．