Question

3．已知a＞0且a≠1，命题p：“函数y=log_ax在（0，+∞）内单调递减”命题q：“曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点若命题p且q是假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 当p为真、q为假时，求出a的范围；当p为假、q为真时，求出a的范围，把这几个a的范围取并集即得所求

解答 解：当p为真时，0＜a＜1．当q为真时，△=（2a-3）²-4＞0，即a＞$\frac{5}{2}$ 或a$＜\frac{1}{2}$．
∵“p且q”为假，“p或q”为真，∴p与q必是一真一假．
当p为真、q为假时则有．$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤x＜1．
当P为假、Q为真时，则有$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得≥$\frac{5}{2}$．
综上可得$a的取值范围是[\frac{1}{2}，1）∪（\frac{5}{2}，+∞）$．

点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，复合命题的真假，二次函数的性质，属于中档题．