Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD．AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABF与三棱锥F-EBC的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BE于点M，连接FM．由AD∥BC，BC=ED，得BCDE为平行四边形，得EM∥CD，再由平行线截线段成比例可得FM∥AP．进一步由线面平行的判定得PA∥平面BEF；
（Ⅱ）利用等积法把三棱锥P-ABF与三棱锥F-EBC的体积之比转化为三棱锥A-PBF与三棱锥E-FBC的体积之比，进一步转化为线段PF与FC的长度比得答案．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．
由AD∥BC，BC=ED，得BCDE为平行四边形，则EM∥CD，
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}=\frac{PF}{FC}$．
∴FM∥AP．
∵FM?平面BEF，PA?平面BEF，
∴PA∥平面BEF；
（Ⅱ）$\frac{{V}_{P-ABF}}{{V}_{F-EBC}}=\frac{{V}_{A-PBF}}{{V}_{E-BCF}}=\frac{{S}_{△PBF}}{{S}_{△FBC}}=\frac{PF}{FC}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了利用等积法求多面体的体积，体现了数学转化思想方法，是中档题．