Question

20．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2，求证：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）EG与HF的交点在直线AC上．

Answer 1

分析 （1）推导出GH∥BD，EF∥BD，从而EF∥GH，由此能证明E，F，G，H四点共面．
（2）推导出EF∥GH，且EF≠GH，从而EG与FH必相交，设交点为M，由此能证明EG与HF的交点在直线AC上．

解答 证明：（1）∵BG：GC=DH：HC=1：2，
∴GH∥BD，
∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，
∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
（2）∵G、H不是BC、CD的中点，
∴EF∥GH，且EF≠GH，
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∵EG?平面ABC，HG?平面ACD，
∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，
∵平面ABC∩平面ACD=AC，
∴M∈AC，
∴EG与HF的交点在直线AC上．

点评 本题考查四点共面的证明，考查两直线的交点在直线上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．