Question

13．已知：a＞0，b＞0，a+4b=4
（1）求ab的最大值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）变形$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=$\frac{1}{4}$$（1+16+\frac{4b}{a}+\frac{4a}{b}）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+4b=4≥2$\sqrt{a•4b}$，化为ab≤1，当且仅当a=2，b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴ab的最大值为1．
（2）∵a＞0，b＞0，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=$\frac{1}{4}$$（1+16+\frac{4b}{a}+\frac{4a}{b}）$≥$\frac{1}{4}（17+4×2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}）$=$\frac{25}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{4}{5}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．