Question

18．下列结论正确的是（　　）

• A． 当x＞0且x≠1时，$lgx+\frac{1}{lgx}≥2$
• B． 当x＞0时，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
• C． 当x≥2时，$x+\frac{1}{x}≥2$
• D． 当0＜x≤2时，$x-\frac{1}{x}$无最大值

Answer 1

分析 A．x∈（0，1）时，lgx＜0，不成立．
B．利用基本不等式的性质即可得出成立．
C．x≥2时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用导数研究其单调性即可得出．
D.0＜x≤2时，y=f（x）=$x-\frac{1}{x}$，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：A．x∈（0，1）时，lgx＜0，不成立．
B．利用基本不等式的性质即可得出成立．
C．x≥2时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）$≥2+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，因此不成立．
D.0＜x≤2时，y=f（x）=$x-\frac{1}{x}$，y′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函数f（x）单调递增，∴f（x）≤f（2），因此D不成立．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．