Question

14．对于任意两个正实数a，b，定义a*b=λ×$\frac{a}{b}$．其中常数λ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），“×”是通常的实数乘法运算，若a≥b＞0，a*b与b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，则a*b=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可知$b*a=λ×\frac{b}{a}$，而根据a≥b＞0及$λ∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$即可求出$0＜λ×\frac{b}{a}＜1$，而b*a，a*b都是集合$\{x|x=\frac{n}{2}，n∈Z\}$的元素，从而得出$λ×\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，进而求出$\frac{a}{b}=2λ$，从而得出a*b=2λ²，这样根据2λ²的范围即可得出a*b的值．

解答 解：$a*b=λ×\frac{a}{b}，b*a=λ×\frac{b}{a}$；
∵a≥b＞0，$λ∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$；
∴$0＜\frac{b}{a}≤1，\frac{\sqrt{2}}{2}＜λ＜1$；
∴$0＜λ×\frac{b}{a}＜1$；
又a*b，b*a都是集合$\{x|x=\frac{n}{2}，n∈Z\}$的元素；
∴$λ×\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{a}{b}=2λ$；
∴a*b=2λ²，且1＜2λ²＜2；
∴$a*b=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 考查对新定义a*b的理解，描述法表示集合，元素与集合的关系，以及不等式的性质．