Question

3．如图，四边形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面 CDM，MA=$\frac{1}{2}$PD=1
（1）求证：平面ABCD⊥平面AMPD
（2）若BC与PM所成角为45°，求二面角M-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PM⊥CD，CD⊥AD，由此能证明CD⊥平面AMPD．
（2）以D为原点，DA，DP，DC依次为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BP-C的余弦值．

解答 证明：（1）因为PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，
所以PM⊥CD，
又ABCD是正方形，所以CD⊥AD，
而梯形AMPD中PM与AD相交，
所以CD⊥平面AMPD．
解：（2）∵CD⊥平面AMPD，则CD⊥PD，CD⊥AD，
又PD∥MA，MA⊥AD，
∴PD⊥AD，
以D为原点，DA，DP，DC依次为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设MA=$\frac{1}{2}$PD=1，AD=a，
则A（a，0，0），M（a，1，0），B（a，0，a），C（0，0，a），P（0，2，0），
$\overrightarrow{PM}$=（a，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-a，0，0），
由BC与PM所成角为45°，
得cos＜$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+1}•|a|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=1，
∵$\overrightarrow{BP}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{PM}$=（1，-1，0），
设平面NBP的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，1），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，2，-1），
设平面CBP的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=-a+2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，1，2），
设二面角M-BP-C的平面角为θ，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{3}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角M-BP-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．