Question

8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+3）．当x∈[4，5]时，f（x）=2^x+1，设函数f（x）在区间[-2，0]上的反函数为f^-1（x），则f^-1（19）的值为（　　）

• A． -log₂3
• B． -2log₂3
• C． 1-log₂3
• D． 3-2log₂3

Answer 1

分析 由f（x-1）=f（x+3）可确定函数周期，进而由条件当x∈[4，5]时，f（x）=2^x+1推导x∈[0，1]时f（x）解析式，并利用偶函数条件求出函数f（x）在区间[-1，0]上的解析式，并令x∈[-1，0]时f（x）=19，解出自变量x的值即为f^-1（19）的值．

解答 解：由f（x-1）=f（x+3）得f（x）=f（x+4），
所以函数周期为T=4，
所以x∈[0，1]时，x+4∈[4，5]，所以f（x）=f（x+4）=2^x+4+1，
又函数f（x）为偶函数，所以x∈[-1，0]时-x∈[0，1]，则f（x）=f（-x）=2^-x+4+1，
令f（x）=2^-x+4+1=19，解得
x=4-log₂18=3-2log₂3，
从而f^-1（19）=3-2log₂3
故选择D．

点评 本题主要考查函数的周期性和奇偶性，利用函数周期性和奇偶性，求函数解析式，并结合反函数知识考查了对数函数值的计算问题，难度较大．