Question

15．已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）．
（1）若x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m=2时，证明f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据极值点的定义求出m值，根据导函数判断函数的单调性；
（2）利用导函数求出函数的最小值，判断最小值与零的关系即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ln（x+m），
f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+m}$，
∵x=0是f（x）的极值点，
∴f'（0）=0，得m=1；
当x在（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
当x在（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
（2）当m=2时，
f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
∵f'（-1）＜0，f'（0）＞0，
故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x₀，且x₀∈（-1，0）．
当x∈（-2，x₀）时，f′（x）＜0，
当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，
从而当x=x₀时，f（x）取得最小值f（x₀），
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）
=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{x}_{0}+2}$＞0，
∴f（x）＞0．

点评 考查了极值点的定义和导函数的应用．难点是对（2）中极值点的判断．