Question

7．设函数f（x）=x³+ax²-ax+m（a∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在[-2，0]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤0在x∈[-2，0]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，问题转化为恒成立问题，利用二次函数的性质解决问题；
（Ⅱ）根据导函数，把恒成立问题转化为最值问题求解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax-a…（1分）
依题意，得f'（x）=3x²+2ax-a≤0在[-2，0]上恒成立
∴f'（-2）=12-5a≤0，f'（0）=-a≤0，解得$a≥\frac{12}{5}$，
∴a的取值范围是[$\frac{12}{5}$，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a∈[3，6]时，f（x）在[-2，0]上是减函数
所以当x∈[-2，0]时，f（x）_max=f（-2）=-8+6a+m原命题等价于-8+6a+m≤0对?a∈[3，6]恒成立…（9分
∵g（a）=6a+m-8在[3，6]上递增，g（a）_max=g（6）=28+m
∴28+m≤0，m≤-28
所以m的取值范围是（-∞，-28]…（12分）

点评 考查了导函数的应用和恒成立问题的转化．属于常规题型，应熟练掌握．