Question

10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C，且$7{a^2}+{b^2}+{c^2}=4\sqrt{3}$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 利用余弦定理可得cosC，再利用三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由∠B=∠C，得b=c，代入$7{a^2}+{b^2}+{c^2}=4\sqrt{3}$，
得$7{a^2}+2{b^2}=4\sqrt{3}$，即$2{b^2}=4\sqrt{3}-7{a^2}$，
由余弦定理得，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{a}{2b}$，
∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{4{b^2}-{a^2}}}}{2b}=\frac{{\sqrt{8\sqrt{3}-15{a^2}}}}{2b}$，
则△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ab×\frac{{\sqrt{8\sqrt{3}-15{a^2}}}}{2b}=\frac{1}{4}a\sqrt{8\sqrt{3}-15{a^2}}=\frac{1}{4}\sqrt{{a^2}（8\sqrt{3}-15{a^2}）}=\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{15}}}{15}\sqrt{15{a^2}（8\sqrt{3}-15{a^2}）}$$≤\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{15}}}{15}×\frac{{15{a^2}+8\sqrt{3}-15{a^2}}}{2}=\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{15}}}{15}×4\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
当且仅当$15{a^2}=8\sqrt{3}-15{a^2}$时取等号，此时${a^2}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$，
∴△ABC的面积的最大值是$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．