Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（-cosx，cosx），$\overrightarrow{c}$=（-1，0）．
（1）若x=$\frac{π}{6}$，求向量$\overrightarrow{a}$．$\overrightarrow{c}$．
（2）当x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{9π}{8}$]时，求f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1的最大值．

Answer 1

分析 （1）$x=\frac{π}{6}$时，可求出向量$\overrightarrow{a}$的坐标，又知$\overrightarrow{c}$的坐标，从而可求出数量积$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的值；
（2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角差的正弦公式化简即可得出$f（x）=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，由x的范围可求出$2x-\frac{π}{4}$的范围，从而可求出f（x）的最大值．

解答 解：（1）$x=\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{a}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，且$\overrightarrow{c}=（-1，0）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）f（x）=-cos²x+sinxcosx+1
=$\frac{1}{2}sin2x+si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∵$x∈[\frac{π}{2}，\frac{9π}{8}]$，∴$2x-\frac{π}{4}∈[\frac{3π}{4}，2π]$；
∴$2x-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值1．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，以及两角差的正弦公式，不等式的性质，并熟悉正弦函数的图象．