Question

3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．求：
（1）直线BD₁面ABCD所成角正切值；
（2）平面PAC与面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由DD₁⊥平面ABCD，知∠D₁BD是直线BD₁面ABCD所成角，由此能求出直线BD₁面ABCD所成角正切值．
（2）设AC∩BD=O，连结PO，∠POD是平面PAC与面ACD所成角，由此能求出平面PAC与面ACD所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
DD₁⊥平面ABCD，
∴∠D₁BD是直线BD₁面ABCD所成角，
∴tan∠D₁BD=$\frac{D{D}_{1}}{BD}$=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴直线BD₁面ABCD所成角正切值为$\sqrt{2}$．
（2）∵AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点，
∴PC=PA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，CO=DO=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设AC∩BD=O，连结PO，
则PO⊥AC，DO⊥AC，
∴∠POD是平面PAC与面ACD所成角，
PO=$\sqrt{P{C}^{2}-C{O}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin∠POD=$\frac{PD}{PO}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面PAC与面ACD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角的正切值的求法，考查面面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．