Question

12．若关于x的不等式x²+ax-2＞0在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 用分离常数法得出不等式a＞$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上成立，根据函数f（x）=$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上的单调性，即可求出a的取值范围．

解答 解：关于x的不等式x²+ax-2＞0在区间[1，2]上有解，
∴ax＞2-x²在x∈[1，2]上有解，
即a＞$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上成立；
设函数f（x）=$\frac{2}{x}$-x，x∈[1，2]，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-1＜0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，
且f（x）的值域为[-1，1]，
要a＞$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上有解，则a＞-1，
即实数a的取值范围为（-1，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．