Question

7．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F₁，F₂，且离心率为$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上一动点，△F₁PF₂内切圆面积的最大值是$\frac{π}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A是椭圆C的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交C于A．M两点，点N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，由△F₁PF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$r（丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨）=$\frac{1}{2}$r（2a+2c），当S最大，则r最大，由πr²=$\frac{π}{3}$，解得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则S_max=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（2a+2c），则bc=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+c），即b=$\sqrt{3}$，由a²=b²+c²，则a=2，b=1，即可求得椭圆的方程；
（2）由题意可知：设y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式丨AM丨，丨AN丨由|AM|=|AN|，即求得k的值，由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}{|{AM}|^2}=\frac{1}{2}{（{\sqrt{1+1}•\frac{12}{3+4}}）^2}=\frac{144}{49}$．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点在x轴，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
设△F₁PF₂内切圆半径为r，
由△F₁PF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$r（丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨）=$\frac{1}{2}$r（2a+2c）
∴当S最大，则r最大，
当P为椭圆上下顶点时，△F₁PF₂的面积最大，其内切圆面积取得最大值，
∵πr²=$\frac{π}{3}$，解得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
△F₁PF₂的面积最大值S_max=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（2a+2c），
整理得：bc=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+c），
则bc=$\sqrt{3}$c，解得：b=$\sqrt{3}$
由a²=b²+c²，则a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）则直线AM的方程为：y=k（x+2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（{x+2}）\end{array}\right.$，整理得，（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得：x=-2或$x=-\frac{{8{k^2}-6}}{{3+4{k^2}}}$，
则$|{AM}|=\sqrt{1+{k^2}}|{-\frac{{8{k^2}-6}}{{3+4{k^2}}}+2}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3+4{k^2}}}$，
∵AM⊥AN，
∴$|{AN}|=\sqrt{1+{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}}•\frac{12}{{3+4•{{（{1-\frac{1}{k}}）}^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3|k|+\frac{4}{|k|}}}$，
∵|AM|=|AN|，k＞0，
∴$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3k+\frac{4}{k}}}$，
整理得（k-1）（4k²-k+4）=0，4k²-k+4=0无实根，
∴k=1．
△AMN的面积为S=$\frac{1}{2}{|{AM}|^2}=\frac{1}{2}{（{\sqrt{1+1}•\frac{12}{3+4}}）^2}=\frac{144}{49}$．
△AMN的面积$\frac{144}{49}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质的应用，考查焦点三角形的面积公式及最值，三角形内切圆面积的最值，考查计算能力，属于中档题．