Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{3}{4}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x的值
（3）若集合{x|f（x）=a，x∈[0，$\frac{π}{2}$]}内有且只有一个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的增区间，解不等式可得所求区间；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，结合正弦函数的图象和性质，可得最值及对应x的值；
（3）求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]内的单调区间，结合函数的对称性，可得直线y=a与y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{6}$），或x=$\frac{π}{3}$只有一个交点，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+1=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得
kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
即有函数f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最大值1，f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$；
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，f（x）取得最小值$\frac{3}{4}$；
（3）由（2）可得f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]．
且f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]内的增区间为[0，$\frac{π}{3}$]，减区间为[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
且f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
由集合{x|f（x）=a，x∈[0，$\frac{π}{2}$]}内有且只有一个元素，
可得直线y=a与y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{6}$），或x=$\frac{π}{3}$只有一个交点，
即有$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{5}{4}$或a=$\frac{3}{2}$．
则实数a的取值范围是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）∪{$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，注意运用二倍角公式和两角差的正弦公式，以及正弦函数的单调区间和值域，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．