Question

2．已知数列{a_n}，满足a₁=0，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n$+\frac{1}{n}$，若不等式$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜m恒成立，则整数m的最小值是3．

Answer 1

分析 通过计算出数列{a_n}前几项的值猜想a_n=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$（n≥2），并利用数学归纳法证明，通过裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 解：∵a₁=0，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n$+\frac{1}{n}$，
∴a₂=$\frac{3}{1}$a₁+$\frac{1}{1}$=1=$\frac{2}{2}$，
a₃=$\frac{4}{2}$a₂+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
a₄=$\frac{5}{3}$a₃+$\frac{1}{3}$=$\frac{9}{2}$，
…
猜想：a_n=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$（n≥2）．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=2时结论显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=$\frac{（k-1）（k+2）}{4}$，
则a_k+1=$\frac{k+2}{k}$•a_k+$\frac{1}{k}$=$\frac{k+2}{k}$•$\frac{（k-1）（k+2）}{4}$+$\frac{1}{k}$=$\frac{{k}^{2}+3k}{4}$，
即当n=k+1时结论也成立；
由①②可知：a_n=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$（n≥2）．
∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{（n-1）（n+2）}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）=$\frac{22}{9}$，
m为整数，
故答案为：3．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及数学归纳法、裂项相消法等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题．