Question

10．已知正三角形ABC的边长为a，面积为s，内切圆的半径为r，则r=$\frac{2s}{3a}$，类比这一结论可知：正四面体S-ABC的底面的面积为S，内切球的半径为R，体积为V，则R=$\frac{3V}{4S}$．

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V=$\frac{1}{3}$•4SR
猜想：正四面体S-ABC的底面的面积为S，内切球的半径为R，体积为V，
则四面体ABCD的内切球半径R=$\frac{3V}{4S}$，
故答案：$\frac{3V}{4S}$．

点评 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．