Question

19．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（ab∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；
（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对函数求导f'（x）=3x²+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求；
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，构造关于a的函数F（a）=2xa+3x²+b≥0对任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，结合函数单调性可得F（a）_min=F（-4）从而有b≥（-3x²+8x）_max，
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x²-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x²-2ax）_max．
构造函数F（x）=-3x²-2ax=-3（x+$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{3}$，结合二次函数的性质进行求解函数F（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在 x=1处有极值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b{+a}^{2}=10}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
当a=4，b=-11时，f′（x）=3x²+8x-11，其中△＞0，所以函数有极值点，
当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）²≥0，所以函数无极值点，
∴b的值为-11；
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
则F（a）=2xa+3x²+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数，
所以得F（a）_min=F（-4）=-8x+3x²+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x²+8x）_max，又-3x²+8x=-3（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{16}{3}$≤$\frac{16}{3}$，
当x=$\frac{4}{3}$时（-3x²+8x）_max=$\frac{16}{3}$，得b≥$\frac{16}{3}$；
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x²-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x²-2ax）_max．令F（x）=-3x²-2ax=-3（x+$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{3}$，
①当a≥0时，F（x）_max=0，∴b≥0；
②当-4≤a＜0时，F（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{3}$，
∴b≥$\frac{{a}^{2}}{3}$．
又∵（$\frac{{a}^{2}}{3}$）_MAX=$\frac{16}{3}$，
∴b≥$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．