Question

5．已知函数f（x）=x³+bx²+2x-1（b∈R）．
（1）设g（x）=$\frac{f（x）+1}{{x}^{2}}$，若函数g（x）在（0，+∞）上没有零点，求实数b的取值范围；
（2）若对?x∈[1，2]，均?t∈[1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的最小值，根据最小值大于0，求出b的范围即可；
（2）问题转化为et-lnt≤x³+bx²+3，设h（t）=et-lnt，t∈[1，2]，得到h（t）≥e，问题转化为e≤x³+bx²+3对x∈[1，2]恒成立，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（1）∵g（x）=x+$\frac{2}{x}$+b≥2$\sqrt{2}$+b（x＞0），
∴$g{（x）_{min}}=2\sqrt{2}+b$，
∴g（x）在（0，+∞）上没零点
$?g{（x）_{min}}=2\sqrt{2}+b＞0$$?b＞-2\sqrt{2}$，
∴$b∈（-2\sqrt{2}，+∞）$；                         
（2）∵et-lnt-4≤f（x）-2x
?et-lnt≤x³+bx²+3，
设h（t）=et-lnt，t∈[1，2]，
∵h′（t）=e-$\frac{1}{t}$≥0对t∈[1，2]恒成立，
∴h（t）在t∈[1，2]上单调递增，
∴h（t）≥h（1）=e，
∴e≤x³+bx²+3对x∈[1，2]恒成立，
∴$b≥-（x+\frac{3-e}{x^2}）$对x∈[1，2]恒成立，
设$m（x）=-（x+\frac{3-e}{x^2}）$，x∈[1，2]，
∵m′（x）=-1+$\frac{6-2e}{{x}^{3}}$≤5-2e＜0，
∴m（x）在x∈[1，2]递减，
∴m（x）≤M（1）=e-4，
∴b≥e-4，即b∈[e-4，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．