Question

15．三棱锥A-PBC中，D是线段PC上一点，且AD⊥面BPC，AC=2，BC=3，AB=$\sqrt{7}$，E是BC上一点，且CE=1．
（1）求证：BC⊥面ADE；
（2）若∠ACP和∠BCP互余，求直线AB和面BPC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算cos∠ACB，再计算AE，由勾股定理可得AE⊥BC，结合AD⊥BC即可得出BC⊥平面ADE；
（2）根据∠ACP和∠BCP互余可得AD•CD=2，利用勾股定理即可得出AD，从而计算sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$．

解答 证明：（1）∵AC=2，BC=3，AB=$\sqrt{7}$，
∴cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{4+9-7}{2•2•3}$=$\frac{1}{2}$，∴∠ACB=60°．
∵CE=1，AC=2，∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}-2AC•CE•cos60°}$=$\sqrt{3}$．
∴AE²+CE²=AC²，∴AE⊥BC．
∵AD⊥平面BCP，BC?平面BCP，
∴AD⊥BC．
又AD?平面ADE，AE?平面ADE，AD∩AE=A，
∴BC⊥平面ADE．
（2）连接BD．
∵AD⊥平面BCP，
∴∠ABD为直线AB与平面BCP所成的角，
由（1）得BC⊥平面ADE，∴BC⊥DE．
设AD=h，则sin∠ACD=$\frac{h}{AC}$=$\frac{h}{2}$，cos∠BCP=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{CD}$．
∵∠ACP和∠BCP互余，∴$\frac{h}{2}$=$\frac{1}{CD}$，∴CD=$\frac{2}{h}$．
又AD²+CD²=AC²，即h²+CD²=4，∴h²+$\frac{4}{{h}^{2}}$=4，
∴h=$\sqrt{2}$．
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
∴直线AB和面BPC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．