Question

12．在△ABC中，sinA+sinC=psinB（p∈R），且ac=$\frac{1}{4}$b²．
（Ⅰ）当p=$\frac{5}{4}$，b=1时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p²，进而利用cosB的范围确定p²的范围，进而确定pd 范围．

解答 解：（I）由题设并利用正弦定理，得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\frac{5}{4}}\\{ac=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
故可知a，c为方程x²-$\frac{5}{4}$x+$\frac{1}{4}$=0的两根，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
（II）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-$\frac{1}{2}{b}^{2}$-$\frac{1}{2}{b}^{2}$cosB，
即p²=$\frac{3}{2}$$+\frac{1}{2}$cosB，
因为0＜cosB＜1，可得：p²∈（$\frac{3}{2}$，2），p＞0，
所以：$\frac{\sqrt{6}}{2}＜p＜\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了解三角形问题，考查了对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用，属于中档题．