Question

17．在二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．

解答 解：∵二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，
∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．
其通项为T_k+1=${C}_{8}^{k}$•（$\sqrt{x}$）^8-k•（$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k=$\frac{1}{{2}^{k}}$•${C}_{8}^{k}$•$\frac{16-3k}{4}$，
当r=0，4，8时，项为有理项．
展开式的9项全排列共有 ${A}_{9}^{9}$种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有 ${A}_{6}^{6}$•${A}_{7}^{3}$种．
∴有理项都互不相邻的概率为$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查排列组合及简单计数问题以及二项式系数的性质，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，属于中档题．