Question

12．（1）焦点在 x轴上，长轴长为10，离心率为$\frac{4}{5}$，求椭圆的标准方程；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±$\frac{3}{2}$x，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得椭圆的半长轴a=6，半焦距c=2，从而可求得半短轴b，于是可得椭圆的方程；
（2）先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由于椭圆的焦点在x轴上，长轴长为10，
则2a=10，a=5，
又由椭圆的离心率为$\frac{4}{5}$，
则$\frac{c}{a}=\frac{c}{5}=\frac{4}{5}$，
故c=4．
∴b²=a²-c²=9．
故所求椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由题意2a=6，∴a=3．
当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{b}{3}=\frac{3}{2}$，∴b=$\frac{9}{2}$，
∴方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{\frac{81}{4}}=1$；
当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{3}{b}=\frac{3}{2}$，∴b=2，
∴方程为$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
故双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{\frac{81}{4}}=1$或$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，考查理解与运算能力以及分类讨论的数学思想，属于基础题．