Question

7．已知${a_1}=\frac{1}{4}$，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+{2^{-n}}$（n≥2）计算这个数列前4项，并归纳该数列一个通项公式．

Answer 1

分析 由递推公式依次求出数列的前4项，由归纳推理得出数列的通项公式．

解答 解：由${a_1}=\frac{1}{4}$，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+{2^{-n}}$（n≥2），
得${a_1}=\frac{1}{4}$，
${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}+{2}^{-2}=\frac{3}{8}$，
${a}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{2}+{2}^{-3}=\frac{5}{16}$，
${a}_{4}=\frac{1}{2}{a}_{3}+{2}^{-4}=\frac{7}{32}$
…
归纳得$a{\;}_n=\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查学生的计算能力，是基础题．