Question

17．已知圆x²+y²=4，圆外有一点M（3，3），点N在圆上运动，O为坐标原点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形MONP，则P的轨迹方程是（x-3）²+（y-3）²=4（点（$3+\sqrt{2}，3+\sqrt{2}$）和（$3-\sqrt{2}，3-\sqrt{2}$））除外．

Answer 1

分析 设P（x，y）、N（x₀，y₀），根据中点坐标公式算出OP、MN中点坐标关于x、y和x₀、y₀的式子，根据平行四边形对角线互相平分建立关系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后将点N坐标代入已知圆的方程，化简即得所求点P的轨迹方程．最后检验去除不合题意的点，可得答案．

解答 解：设P（x，y），圆上的动点N（x₀，y₀），则
线段OP的中点坐标为（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$），线段MN的中点坐标为（$\frac{{x}_{0}+3}{2}，\frac{{y}_{0}+3}{2}$），
又∵平行四边形的对角线互相平分，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=\frac{{x}_{0}+3}{2}}\\{\frac{y}{2}=\frac{{y}_{0}+3}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x-3}\\{{y}_{0}=y-3}\end{array}\right.$，
∵N（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上，即N（x-3，y-3）在圆上，
∴N点坐标应满足圆的方程，代入化简可得（x-3）²+（y-3）²=4，
直线OM与轨迹相交于两点（$3+\sqrt{2}，3+\sqrt{2}$）和（$3-\sqrt{2}，3-\sqrt{2}$），不符合题意，舍去．
故答案为：（x-3）²+（y-3）²=4（点（$3+\sqrt{2}，3+\sqrt{2}$）和（$3-\sqrt{2}，3-\sqrt{2}$））除外．

点评 本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程和动点轨迹求法等知识，属于中档题．