Question

7．设直线l₁：ax-by+4=0，l₂：（a-1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值．
（1）l₁⊥l₂，且l₁过点M（-3，-1）；
（2）l₁∥l₂，且l₁，l₂在y轴上的截距互为相反数．

Answer 1

分析 （1）由l₁过点M（-3，-1），可得：-3a+b+4=0；利用l₁⊥l₂，$\frac{a}{b}$×（1-a）=-1，即可解出．
（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，可知：两条直线不平行．b≠0时两条直线分别化为：y=$\frac{a}{b}$x+$\frac{4}{b}$，y=（1-a）x-b，利用题意可得$\frac{a}{b}$=1-a，$\frac{4}{b}$=b，解出即可得出．

解答 解：（1）∵l₁过点M（-3，-1），可得：-3a+b+4=0；∵l₁⊥l₂，$\frac{a}{b}$×（1-a）=-1，解得a=2，b=2．
（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，
当b=0时，两条直线分别化为：ax+4=0，（a-1）x+y=0，可知：当a=1时两条直线不平行．
b≠0时两条直线分别化为：y=$\frac{a}{b}$x+$\frac{4}{b}$，y=（1-a）x-b，∴$\frac{a}{b}$=1-a，$\frac{4}{b}$=b，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{a=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{a=2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了两条直线相互平行与相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．