Question

17．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

气温（℃）	14	12	8	6
用电量（度）	22	26	34	38

（1）求线性回归方程；（$\sum_{n=1}^4{x_i}{y_i}=1120，\sum_{n=1}^4{x_i}^2=440$）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据可以求出$\overline{x}，\overline{y}$，再根据$\sum_{n=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}=1120，\sum_{n=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}=440$，由提供的计算回归直线的斜率和截距的公式便可求出$\widehat{b}，\widehat{a}$，从而写出回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，带入x=10，便可得出气温为10℃时的用电量y．

解答 解：（1）由表可得：$\overline{x}=\frac{14+12+8+6}{4}=10，\overline{y}=\frac{22+26+34+38}{4}=30$；
又$\sum_{n=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}=1120，\sum_{n=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}=440$；
∴$\widehat{b}=\frac{1120-4×10×30}{440-4×1{0}^{2}}=-2$，$\widehat{a}=30-（-2）×10=50$；
∴线性回归方程为：$\widehat{y}=-2x+50$；
（2）根据回归方程：当x=10时，y=-2×10+50=30；
∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．

点评 考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．