Question

15．（1）化简：$\frac{sin（π-α）cos（3π-α）tan（-α-π）tan（α-2π）}{tan（4π-α）sin（5π+a）}$．
（2）若α、β为锐角，且$cos（α+β）=\frac{12}{13}$，$cos（2α+β）=\frac{3}{5}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）使用诱导公式化简；
（2）根据角的范围计算sin（α+β），sin（2α+β）．使用差角公式计算．

解答 解：（1）原式=$\frac{sinα•（-cosα）•（-tanα）•tanα}{-tanα•（-sinα）}$=sinα
（2）∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$）．
∵cos（α+β）=$\frac{12}{13}$，cos（2α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴$sin（α+β）=\frac{5}{13}$，$sin（2α+β）=\frac{4}{5}$．
∴cosα=cos（（2α+β）-（α+β））=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}+\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，两角和差的余弦函数，属于基础题．