Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当二面角的大小为时，

试判断点在上的位置，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）点是的中点.

【解析】

（Ⅰ）解法一：由四棱锥的侧面都是等边三角形，可得，再由O为底面中心，可得，，由线面垂直的判定可得，从而得到平平面平面；

解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可；

（Ⅱ）这是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．

证明：（Ⅰ）解法一：

由已知可得，,是中点，所以.

又因为四边形是正方形，所以.

因为，所以.

又因为，所以平面平面.

解法二：证明：由（Ⅰ）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，，，.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.

（Ⅱ）解：设（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.

所以点是的中点.