Question

8．设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²$（{\frac{π}{2}-x}）$满足f $（{-\frac{π}{3}}）$=f（0），
（1）求函数f（x）的解析式； （写成形如y=Asin（wx+φ）+B的形式，w＞0）
（2）画出函数在[0，π]的图象；
（3）求函数在[$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的解析式．
（2）直接作图即可，
（2）根据x的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值

解答 解：（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²$（{\frac{π}{2}-x}）$=acosxsinx-cos²x+sin²x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x，
由f $（{-\frac{π}{3}}）$=f（0）得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=-1，解得a=2$\sqrt{3}$，
因此f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（2）图象如图所示：
（3）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]时，f（x）为增函数，当x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{11π}{24}$]时，f（x）为减函数，
所以函数f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上的最大值为f（$\frac{π}{3}$）=2，
又因为f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，f（$\frac{11π}{24}$）=$\sqrt{2}$，
故f（x）的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用．