Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0处取得极值-1．
（1）设点A（-a，f（-a）），求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
（2）若过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求a的取值范围；
（3）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）处的切线都过点（0，0），证明：f′（x₁）≠f′（x₂）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的导函数，由函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0处取得极值-1，则f^′（0）=0，f（0）=-1，由此可得b和c的值，然后设出切点坐标，写出切线方程，把A点的坐标代入切线方程即可求得切点坐标，从而说明过点A的切线有且只有一条并求出该切线方程；
（2）根据过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求出过（0，0）的切线方程方程得，说明该方程应有三个不同的实数根，利用导函数求出该方程对应函数的极值，则其极大值要大于0，极小值要小于0，由此列式可求a的取值范围；
（3）利用反证法，假设，代入整理后可得x₁+x₂=-2a．再由（2）可得，两式作差后得到．把x₁+x₂=-2a代入可得，而利用基本不等式得到，从而得到矛盾，说明假设错误，得到要证的结论正确．
解答：（1）证明：由f（x）=x³+ax²+bx+c（a＜0），得：f^′（x）=x²+2ax+b，
由题意可得f^′（0）=0，f（0）=-1，解得b=0，c=-1．
∴．
经检验，f（x）在x=0处取得极大值．
设切点为（x，y），则切线方程为
即为
把（-a，f（-a））代入方程可得，
即，所以x=-a．
即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．
所以切线方程为；
（2）解：因为切线方程为，
把（0，0）代入可得，
因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根．
设（a＜0）
g^′（x）=2x+2ax，令g^′（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=-a．
当x∈（-∞，0）时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（0，-a）时，g^′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（-a，+∞）时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数，
所以，当x=0时函数g（x）取得极大值为g（0）=1＞0．
当x=-a时函数g（x）取得极小值，
极小值为．
因为方程有三个根，故极小值小于零，，所以．
（3）证明：假设，则，
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-2a（x₁-x₂）
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂=-2a．
由（2）可得，两式相减可得．
因为x₁≠x₂，故．
把x₁+x₂=-2a代入上式可得，，
所以，．
所以．
又由，这与矛盾．
所以假设不成立，即证得．
点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数的零点与函数的极值点间的关系，训练了反证法，此题综合性较强，属于有一定难度的题目．